Lösung der Differenzialgleichung  y'³ = 2*y

                        _     _
  y'³ = 2*y  =>  y' = ³√2 * ³√y

  Jede Funktion y=f(x), die diese Differenzialgleichung erfüllt,
  ist eine Lösung dieser Differenzialgleichung.

                        u              u-1
  Lösungsansatz: y = a*x  => y' = a*u*x

  Der Exponent u vermindert sich beim Differenzieren einerseits
  um 1, andererseits gilt nach der Differenzialgleichung, dass
  der Exponent von x in der Ableitung u/3 beträgt.
  (Bei der Ausnahme u=-1 gilt diese Argumentation nicht.)

  Daraus erhalten wir die Gleichung u-1 = u/3 mit der Lösung 3/2.
                                     __
  Wir haben also bereits (1) y  = a*√x³.
                                             _
                     =>  (2) y' = a * 3/2 * √x

  Jetzt muss noch der Faktor a im Lösungsansatz bestimmt werden:

  Setzen wir dazu (1) und (2) in die Differentialgleichung ein:

             _     _     _    _
  3/2 * a * √x = ³√2 * ³√a * √x

  Vergleichen wir die Faktoren, so erhalten wir die Gleichung
                    _     _
      3/2 * a  =  ³√2 * ³√a  |  hoch 3


     27/8 * a³ =  2 * a  Die Lösung a=0 => y=0 interessiert nicht
                         so sehr und kann abdividiert werden.
                                                      _
  => 27/8 * a² =  2   =>  a² = 16/27  =>  a = ± 4/(3*√3)
                                                           _     __
  Der Lösungsansatz führt also zu den Lösungen y = ± 4/(3*√3) * √x³,
  von denen im folgenden Screenshot ein Ausschnitt angezeigt wird.

  

  Die triviale Lösung ist für alle x definiert. Die beiden
  anderen Lösungsfunktionen sind im negativen x-Bereich nicht
  definiert bzw. imaginärwertig, so dass der Ableitungsbegriff
  neu überdacht werden müsste.